设总体X等可能地取值1，2，3，…，N，其中N是未知的正整数．X1，X2，…，Xn是取自该总体中的一个样本．试求N的最大似然估计量．

Question

设总体X等可能地取值1，2，3，…，N，其中N是未知的正整数．

X1，X2，…，Xn

是取自该总体中的一个样本．试求N的最大似然估计量．

Answer 1

（1）总体X的分布律为  P{X＝x}＝(1)/(N)，

x＝1，2，…，N

．
所以似然函数为
L(N)＝∏limit

s

n i＝1

P{Xi＝xi}＝(1)/(Nn)，

1≤xi≤N，&

i＝1，2，…，n

．
当N越小时，似然函数L（N）越大；
另一方面，N还要满足：

1≤xi≤N，

i＝1，2，…，n

，
即N≥max

x1，x2，…，xn

＝x(n)．
所以，N的最大似然估计量为

̂

N

＝X(n)．