对于多元函数，可导必可微，可微必可导（判断对错）．

Question

对于多元函数，可导必可微，可微必可导______（判断对错）．

Answer 1

错．
由可微的定义可得，
若f（x，y）在（x₀，y₀）可微，则存在A、B使得
f（x₀+△x，y₀+△y）=f（x₀，y₀）+A△x+B△y+o（ρ），①
其中ρ=√((△x)2+(△y)2)．
从而，

lim

△x→0

(f(x0+△x)−f(x0，y0))/(△x)=

lim

△x→0

(A+(o(|△x|))/(△x))，
又因为 (|△x|)/(△x)为有界量，

lim

△x→0

(o(|△x|))/(|△x|)=0，
所以

lim

△x→0

(o(|△x|))/(△x)=0，
故 (∂f)/(∂x)|(x0，y0)=

lim

△x→0

(f(x0+△x)−f(x0，y0))/(△x)=A存在．
同理，可由①推导出(∂f)/(∂y)|(x0，y0)=B 存在．
综上，如果f（x，y）在（x₀，y₀）处可微，则其偏导数必然存在．
但是，如果f（x，y）在（x₀，y₀）处的偏导数存在，但却不一定在（x₀，y₀）处可微，反例：
取f（x，y）=√(作业帮用户2017-10-13举报问题解析直接利用可导与可微的定义可得，可微必可导，但是可导却未必可微，可以举出反例．名师点评本题考点：多元函数连续、可导、可微的关系．考点点评：本题考查了二元函数偏导数存在与可微之间的关系．对于二元函数f（x，y），如果f（x，y）在（x0，y0）处可微，则其偏导数必然存在；但是，如果f（x，y）在（x0，y0）处的偏导数存在，却不能推导出其在（x0，y0）处可微．事实上，如果想由f（x，y）可导推出其可微，必须添加条件，例如：假设f（x，y）在点（x0，y0）处的偏导数存在且连续，则可以利用可微的定义证明其在点（x0，y0）处可微．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)