请先阅读：设可导函数f（x）满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．在等式f（-x）=-f（x）的两边对x求导，得（f（-x））′=（-f（x））′，由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），化简得

Question

请先阅读：
设可导函数 f（x） 满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x） 的两边对x求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式 (1+x ) n =

C

0n

+

C

1n

x+

C

2n

x 2 +…+

C

nn

x n （x∈R，整数n≥2），证明： n[(1+x ) n-1 -1]=2

C

2n

x+3

C

3n

x 2 +4

C

4n

x 3 +…+n

C

nn

x n-1 ；
（Ⅱ）当整数n≥3时，求

C

1n

-2

C

2n

+3

C

3n

-…+(-1 ) n-1 n

C

nn

的值；
（Ⅲ）当整数n≥3时，证明： 2

C

2n

-3•2

C

3n

+4•3

C

4n

+…+(-1 ) n-2 n(n-1)

C

nn

=0 ．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在等式（1+x） ⁿ =C _n ⁰ +C _n ¹ x+C _n ² x ² ++C _n ⁿ x ⁿ
两边对x求导得n（1+x） ^n-1 =C _n ¹ +2C _n ² x+…+（n-1）C _n ^n-1 x ^n-2 +nC _n ⁿ x ^n-1
移项得 n[ (1+x) n-1 -1]=2

C

2n

x+3

C

3n

x 2 +4

C

4n

x 3 +…+n

C

nn

x n-1 ；
（Ⅱ）当整数n≥3时，n（1+x） ^n-1 =C _n ¹ +2C _n ² x+…+（n-1）C _n ^n-1 x ^n-2 +nC _n ⁿ x ^n-1 中，令x=-1，可得

C

1n

-2

C

2n

+3

C

3n

-…+(-1 ) n-1 n

C

nn

=（-1） ^n-1 n；
（Ⅲ）证明：当整数n≥3时，∵n（1+x） ^n-1 =C _n ¹ +2C _n ² x+…+（n-1）C _n ^n-1 x ^n-2 +nC _n ⁿ x ^n-1 ，
求导函数，可得（n-1）n（1+x） ^n-2 =+2C _n ² +…+n（n-1）C _n ⁿ x ^n-2 ，
令x=-1，可得 2

C

2n

-3•2

C

3n

+4•3

C

4n

+…+(-1 ) n-2 n(n-1)

C

nn

=0 ．