两条相交直线和直线外一点,怎样在这两条直线之上分别确定一点,使三点构成的三角形周长最短.我知道做法,可是不知道为什么这么做

Question

两条相交直线和直线外一点,怎样在这两条直线之上分别确定一点,使三点构成的三角形周长最短.我知道做法,可是不知道为什么这么做

Answer 1

两条相交直线和直线外一点,怎样在这两条直线之上分别确定一点,使三点构成的三角形周长最短

已知L₁和L₂是两条相交直线,交点为A；点M是两直线外的一定点.在L₁和L₂上各找一

点B和C,使△MBC的周长最短.

作图：①过M作ME⊥L₁,垂足为E,并延长一倍至P,使ME=PE；

②再过M作MF⊥L₂,垂足为F,并延长一倍至Q,使MF=QF；

③连接PQ与L₁相交于B,与L₂相交于C,连接MB,MC,则△MBC的周长最短.

证明：依作图法,L₁是MP的垂直平分线,因此MB=PB；L₂是MQ的垂直平分线,因此MC=QC；

于是PQ=PB+BC+QC=MB+BC+MC；

再在L₁上另取一点B₁,在L₂上另取一点C₁；同样连PB₁,B₁C₁,QC₁,MB₁,MC₁；

同理△MB₁C₁的周长＝折线PB₁C₁Q的长；两点间的连线以直线最短,即∣PQ∣<折线PB₁C₁Q的长；这就证明了则△MBC的周长最短.

图形如下：