已知某球形天体的密度为ρ0，引力常量为G．（1）证明对环绕密度相同的球形天体表面运行的卫星，运动周期与天体的大小无关（球的体积公式为V=43πR3，其中R为球半径）（2）若球形天体的

Question

已知某球形天体的密度为ρ₀，引力常量为G．
（1）证明对环绕密度相同的球形天体表面运行的卫星，运动周期与天体的大小无关（球的体积公式为V=(4)/(3)πR³，其中R为球半径）
（2）若球形天体的半径为R，自转的角速度ω₀₌(√(RGρ0))/(2)，表面周围空间充满厚度d=(R)/(2)（小于同步卫星距天体表面的高度）．密度ρ=(4ρ0)/(19)的均匀介质，试求同步卫星距天体表面的高度．

Answer 1

（1）证明：由万有引力定律得：
G(Mm)/(R2)＝m(4π2)/(T2)R
又：M＝ρ0(4)/(3)πR3
解得：
T2＝(3π)/(Gρ0)
故T与R无关
（2）把天体和周围空间介质看成一个球体，其质量为M，则
M＝ρ0(4)/(3)πR3+(4)/(3)π(R+(R)/(2))3−(4)/(3)πR3×(4)/(19)ρ0=ρ02πR3
再由万有引力定律得：
(Gmρ02πR3)/((R+h)3)=m（R+h）ω₀²
解得：h=R
答：
（1）由T2＝(3π)/(Gρ0)，可知，T与R无关
（2）同步卫星距天体表面的高度为R