球体积公式是根据什么由来的

Question

球体积公式是根据什么由来的

Answer 1

S球的表面积=4πr2
V球=4πr3÷3
球体积计算在数学史上是一个很重要的问题,尤其在古代,这个问题解决得如何,从某种意义上讲,标志着某个国家、某个民族的数学水平的高低.我们中华民族在这个方面的杰出成就,是足可引以为豪的.
早在公元前1世纪,我国对球体积计算是通过实测来完成的,其结果引出球体积计算公式：,其中V——球体积,D——球直径,为什么?非常简单.用黄金分别制作一个立方寸的方块和直径1寸的球丸,用秤一称,一个16两,一个9两,球体积计算的近似公式就出来了.直到《九章算术》成书的年代还保留着上述公式.这可以说,是我国球体积计算的第一阶段：实测.
公元3世纪,刘徽在注《九章算术》时,对这个公式提出了异议.为了说明刘徽的观点,我们先引入以下几个模型,如图1,所示.
V1——正方体且边长为D,V2——V1的内切圆柱,V3——V1的两个内切圆柱的相贯体,V——直径等于D的球,V3是刘徽专门引入的,并命名为“牟合方盖”,即两个相同的方伞上下而合为一体.刘徽分析 的不准确是由以下推理所致：
但他马上提出其中V2：V=4：π是错误的,因为V3：V=4：π（V3与V的任意等高截面均为4：π）.刘徽的论断非常正确,他实际上双指出了计算球体积的一条有效途径,那就是设法求出“牟合方盖”的体积.可惜的是,刘徽当时还没有找到求“牟合方盖”体积的办法.他说：“我们来观察立方体之内,合盖之外这块立体体积吧.它从上而下地逐渐瘦削,在数量上是不够清楚的.由于它方圆混杂,各处截面宽窄极不规则,事实上没有规范的模型可与之比较.若不尊重图形特点而妄作判断,恐怕有违正理.岂敢不留阙疑,街能言者来讲解吧.”由此,刘徽这种不迷信前贤,实事求是的治学精神可见一斑.这是我国球体积计算的第二阶段：改进.
“牟合方盖”
到公元6世纪,我国球体积计算进入严密推导的第三阶段.著名数学家祖冲之的儿子祖 取 ,再将它填充成 ,所填充的那部分体积,正是当年刘徽不知如何中处置的“合盖之外,立方之内”的 .由水平截面在高为Z处截这个填充后的立方体,可截得正方形,由F1,F2,F3 ,F4组成.其中 （由勾股定理知）,而 .由此,祖 提出“缘幂势既同,则积不容异”的著名论断,后人称之为“祖 原理”.并推出：如图3,,因为F2+F3+F4=F*=Z2.而B*为倒立的正方体阳马,为B的体积的 ,显然,B1为B的体积的 ,再利用刘徽的结论V3：V=4：π,即可得球体积计算公式：,其中D为球直径.
至此,我们可以说,在球体积计算方面,刘徽的方法确实妙不可言,而祖 的推导则完美无缺.而在西方,公元前3世纪阿基米德在《论球与圆柱》卷I中,曾以33个命题为准备,用穷举法在命题34个中才得出结论：.到公元前17世纪卡瓦利里利用了与“祖 原理”相同的所谓“不可分量原理”,得出了 的结论,只不过他所采用的形式,这也是现行中学课本中所采用的方法.同学们可以自行比较这些方法的特点.