如图所示，半径为R的光滑圆环竖直固定，质量为3m的小球A套在圆环上；长为2R的刚性（既不伸长也不缩短）轻杆一端通过铰链与A连接，另一端通过铰链与滑块B连接；滑块B质量为m，套在水平

Question

如图所示，半径为R的光滑圆环竖直固定，质量为3m的小球A套在圆环上；长为2R的刚性（既不伸长也不缩短）轻杆一端通过铰链与A连接，另一端通过铰链与滑块B连接；滑块B质量为m，套在水平固定的光滑杆上．水平杆与圆环的圆心O位于同一水平线上．现将A置于圆环的最高处并给A-微小扰动（初速度视为0），使A沿圆环顺时针自由下滑，不计一切摩擦，A、B均视为质点，重力加速度大小为g．求：

（1）A滑到与圆心O同高度时的速度大小；
（2）A下滑至杆与圆环第一次相切的过程中，杆对B做的功．

Answer 1

（1）当A滑到与O同高度时，A的速度沿圆环切向向下，B的速度为0，由机械能守恒定律得：
3mgR=(1)/(2)(3m)v2，
解得：v=√(2gR)．
（2）杆与圆环相切时，A的速度沿杆方向，设为v_A，此时B的速度设为v_B，根据杆不可伸长和缩短，得：
v_A=v_Bcosθ，
由几何关系得：cosθ=(2√(5))/(5)，
球A下落的高度为：h=(5-2√(5))/(5)R，
由机械能守恒定律得：3mgh=(1)/(2)(3m)vA2+(1)/(2)mvB2，
由动能定理得：W=(1)/(2)mvB2，
代入数据解得：W=(15-6√(5))/(17)mgR．
答：（1）A滑到与圆心O同高度时的速度大小为√(2gR)；
（2）A下滑至杆与圆环第一次相切的过程中，杆对B做的功为(15-6√(5))/(17)mgR．