如图所示，在光滑水平面左右两侧各有一竖直弹性墙壁P、Q，平板小车A的左侧固定一挡板D，小车和挡板的总质量M=2kg，小车上表面O点左侧光滑，右侧粗糙．一轻弹簧左端与挡板相连，原长

Question

如图所示，在光滑水平面左右两侧各有一竖直弹性墙壁P、Q，平板小车A的左侧固定一挡板D，小车和挡板的总质量 M=2kg，小车上表面O点左侧光滑，右侧粗糙．一轻弹簧左端与挡板相连，原长时右端在O点．质量m=1kg的物块B在O点贴着弹簧右端放置，但不与弹簧连接，B与O点右侧平面间的动摩擦因数μ=0.5．现将小车贴着P固定，有水平B继续向左运动，恒力F推B向左移动x₀=0.1m距离时撤去推力，最终停在O点右侧x₁=0.9m 处，取重力加速度g=10m/s²，弹簧在弹性限度内．
（1）求水平恒力F的大小及弹簧的最大弹性势能E_p；
（2）撤去小车A的固定限制，以同样的力F推B向左移动x₀时撤去推力，发现A与Q发生第一次碰撞前A、B已经达到共同速度，求最初A右端与Q间的最小距离s₀；
（3）在（2）的情况下，求B在O点右侧运动的总路程s及运动过程中B离开O点的最远距离x（车与墙壁碰撞后立即以原速率弹回）．

Answer 1

（1）取全过程研究，根据动能定理有
  Fx₀-μmgx₁=0
解得  F=45N
由功能关系得  Fx₀=E_p
解得 E_p=45J
（2）设B运动到O点的速度为v₀，根据机械能守恒定律有
  E_p=(1)/(2)m

v

2 0

接着B减速，设加速度大小为a₁，根据牛顿第二定律有
  μmg=ma₁；
解得 a₁=5m/s²；
A加速，设加速度大小为a₂，根据牛顿第二定律有
  μmg=Ma₂；
解得 a₂=2.5m/s²；
设运动的共同速度为v₁，则 v₁=v₀-a₁t₁，v₂=a₂t₁，
t₁时间内A运动的距离即为最小距离 s₀=(1)/(2)a2

t

2 1

解得 s₀=0.2m
（3）最终A、B都停止运动，机械能转化为内能，由功能关系得
  E_p=μmgs
解得 s=0.9m
A与Q第一次碰撞前B距离O点的距离△s₁=v0t1-(1)/(2)a1

t

2 1

-(1)/(2)a2

t

2 1

   A被Q反弹后瞬间向左速度大小为v₁，B以大小为v₁的速度向右减速，且B的加速度大小仍是 a₁=5m/s²，方向向左；A的加速度仍为a₂=2.5m/s²，方向向右，达到共同速度v₂前B相对A一直向右运动，则
  v₁₂=v₁-a₁t₂，v₂=-v₁+a₂t₂，
解得 t₂=(4)/(15)s，v₂=-(1)/(3)m/s
这段时间内B相对A向右移动距离△s₂=（v₁t₂-(1)/(2)a1

t

2 2

）-（-v₁t₂+(1)/(2)a2

t

2 2

）
此时B离开O点的最远距离 x=△s₁+△s₂；
解得 x=0.87m
答：
（1）水平恒力F的大小是45N，弹簧的最大弹性势能E_p是45J．
（2）最初A右端与Q间的最小距离s₀是0.2m．
（3）B在O点右侧运动的总路程s是0.9m，运动过程中B离开O点的最远距离x是0.87m．