为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分

Question

为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．

（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；

	优分	非优分	总计
男生
女生
总计			50

（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的期望和方差．

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

附：K²⁼(n(ad-bc)2)/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))．

Answer 1

（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：

	优分	非优分	总计
男生	9	21	30
女生	11	9	20
总计	20	30	50

假设H₀：该学科成绩与性别无关，
则K²的观测值k=(n(ad-bc)2)/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))=(50×(9×9-11×21)2)/(20×30×20×30)=3.125，
因为3.125>2.706，
所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．
（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，
因此需要将男女生成绩的优分频率f=(20)/(50)=0.4视作概率；
设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，
则X服从二项分布B（3，0.4），
所求概率P=P（X=2）+P（X=3）
=

∁

2 3

×0.4²×0.6+

∁

3 3

×0.4³
=0.352．