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(2014•郴州三模)如图,边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点A′,连接EF,A′B.(1)求证:A′D⊥EF;(2)求二面
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(2014•郴州三模)如图,边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点A′,连接EF,A′B.

(1)求证:A′D⊥EF;
(2)求二面角A′-EF-D的余弦值.

(1)求证:A′D⊥EF;
(2)求二面角A′-EF-D的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:在正方形ABCD中,有AD⊥AE,CD⊥CF
则A'D⊥A'E,A'D⊥A'F
又A'E∩A'F=A'
∴A'D⊥平面A'EF
而EF⊂平面A'EF,∴A'D⊥EF
(2)方法一:连接BD交EF于点G,连接A'G
∵在正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,
∴BE=BF,DE=DF,
∴点G为EF的中点,
且BD⊥EF
∵正方形ABCD的边长为2,∴A'E=A'F=1,∴A'G⊥EF
∴∠A'GD为二面角A'-EF-D的平面角
由(1)可得A'D⊥A'G,
∴△A'DG为直角三角形
∵正方形ABCD的边长为2,
∴BD=2
,EF=
,
∴BG=
,DG=2
−
=
,
又A'D=2
∴A′G=
=

则A'D⊥A'E,A'D⊥A'F
又A'E∩A'F=A'
∴A'D⊥平面A'EF
而EF⊂平面A'EF,∴A'D⊥EF
(2)方法一:连接BD交EF于点G,连接A'G
∵在正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,
∴BE=BF,DE=DF,
∴点G为EF的中点,
且BD⊥EF
∵正方形ABCD的边长为2,∴A'E=A'F=1,∴A'G⊥EF
∴∠A'GD为二面角A'-EF-D的平面角
由(1)可得A'D⊥A'G,
∴△A'DG为直角三角形
∵正方形ABCD的边长为2,
∴BD=2
2 |
2 |
∴BG=
| ||
2 |
2 |
| ||
2 |
3
| ||
2 |
又A'D=2
∴A′G=
DG2−A′D2 |
作业帮用户
2017-11-14
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