在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB上移动（1）如图①，当点E自D向C，点F自向C向B移动时，连结AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的关系；（2）如图②

Question

在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB上移动
（1）如图①，当点E自D向C，点F自向C向B移动时，连结AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的关系；
（2）如图②③，当E、F分别在直线CD，BC上移动时，连结AE和DF，请你写出AE与DF的关系，并说明理由；
（3）如图④，当E、F分别在直线DC，CB上移动时，连结AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路线的草图，若AD=2，试求出线段CP的最小值．

Answer 1

（1）AE=DF，AE⊥DF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．
在△ADE和△DCF中，

AD=DC

∠ADC=∠C

DE=CF

，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°．
∴AE⊥DF；
（2）图②，AE=DF，AE⊥DF．
同（1）证明△ADE≌△DCF，
∴AE=DF，AE⊥DF．
图③，AE=DF，AE⊥DF．
理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF
延长FD交AE于点G，
则∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠ADG+∠DAE=90°．
∴AE⊥DF；
（3）如图④
由于点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC=√(CD2+QD2)=√(5)，
∴CP=QC-QP=√(5)-1．