（2013•房县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①AGAB=

Question

（2013•房县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①(AG)/(AB)=(FG)/(FB)；②点F是GE的中点；③AF=(√(2))/(3)AB；④S_△ABF=S_△ACD，其中正确的结论序号是（　　）

A．①②
B．①③
C．②③
D．①④

Answer 1

∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴(AG)/(CB)=(FG)/(FB)，
∵BA=BC，
∴(AG)/(AB)=(FG)/(FB)，
故①正确；
∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，点D是AB的中点，
∴BD=(1)/(2)AB=(1)/(2)CB，
∵tan∠BCD=(BD)/(CB)=(1)/(2)，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE=(AG)/(AB)=(1)/(2)，
∵(AG)/(AB)=(FG)/(FB)=(1)/(2)，
∴FG=(1)/(2)FB，
∵GE≠BF，
∴点F不是GE的中点．
故②错误；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=(1)/(3)AC，
∵AC=√(2)AB，
∴AF=(√(2))/(3)AB，
故③正确；
∵BD=(1)/(2)AB，AF=(1)/(3)AC，
∴S_△ADF=S_△BDF，S_△ADF=(1)/(3)S_△ACD，
S_△ACD=(1)/(2)S_△ABC，S_△ABF=(1)/(3)S_△ABC，
∴S_△ABF≠S_△ACD，
故④错误．
故选B．