Rt三角形ABC中,角BAC等于90°,AE⊥BC于B,BD是角ABC的角平分线,交AE于G,作GF∥BC,交AC于F.求证:AD=F

Question

Rt三角形ABC中,角BAC等于90°,AE⊥BC于B,BD是角ABC的角平分线,交AE于G,作GF∥BC,交AC于F.求证:AD=F

Answer 1

【求证AD=FC】
证明：
作DH⊥BC于H,
∵∠BAC=∠DHB=90º
∠ABD=∠HBD【BD平分∠ABC】
BD=BD
∴⊿ABD≌⊿HBD（AAS）
∴AD=DH,∠ADB=∠HDB
∵AE⊥BC,DH⊥BC
∴DH//AE
∴∠AGD =∠HDB=∠ADB
∴AG =AD=DH
∵GF//BC
∴∠AGF=∠AEC=∠DHC=90º,∠AFG =∠C
【综合一下】
∵∠AGF=∠DHC,∠AFG=∠C,AG=DH
∴⊿AGF≌⊿DHC（AAS）
∴AF=DC
∴AD=FC【等式两边减去DF得】