已知△ABC的三个内角A,B,C的对边依次为a,b,c,外接圆半径为1,且满足tanA/tanB=2c-b/b则△ABC面积的最大值为答案是3√3/4,想知道咋算的.

Question

已知△ABC的三个内角A,B,C的对边依次为a,b,c,外接圆半径为1,且满足tanA/tanB=2c-b/b
则△ABC面积的最大值为
答案是3√3/4,想知道咋算的.

Answer 1

[(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA
正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入
(2sinC-sinB)cosA=sinAcosB
2sin(A+B)cosA=sinAcosB+cosAsinB
2sin(A+B)cosA-sin(A+B)=0
sin(A+B)(2cosA-1)=0
sin(A+B)≠0
cosA=1/2
A=60度
S=1/2AB*AC*SIN60=√3/4AB*AC
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=2
S=√3/4AB*AC=√3sinCsinB=3/4sinCsin（120-C）展开即可得
或者利用积化和差,B=C时最大,就是等边三角形