已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．

Question

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（1）△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
∴利用正弦定理可得（2+b）（a-b）=（c-b）c，即 b²+c²-bc=4，即b²+c²-4=bc，
∴cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(bc)/(2bc)=(1)/(2)，
∴A=(π)/(3)．
（2）再由b²+c²-bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，
此时，△ABC为等边三角形，它的面积为 (1)/(2)bcsinA=(1)/(2)×2×2×(√(3))/(2)=√(3)，
故△ABC的面积的最大值为：√(3)．