如图所示，∠BAC=2π3，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xAD+yAE（x，y∈R），则x+y的取值范围是（）A.[1，4+23]B.[4-23，4+23]C.[1，2+3]D.[2-3，2+3]

Question

如图所示，∠BAC=

(2π)/(3)，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且

AP

=x

AD

+y

AE

（x，y∈R），则x+y的取值范围是（　　）

A. [1，4+2

√(3)]

B. [4-2

√(3)，4+2√(3)]

C. [1，2+

√(3)]

D. [2-

√(3)，2+√(3)]

Answer 1

连接MA，MD，则∠MAD=(π)/(3)，MD⊥AD，
∵AD=1，∴MD=√(3)，MA=2，
∵点P是圆M及其内部任意一点，
∴2-√(3)≤AP≤2+√(3)，且当A，P，M三点共线时，x+y取得最值，
当AP取得最大值时，以AP为对角线，以AB，AC为邻边方向作平行四边形AA₁PB₁，
则△APB₁和△APA₁是等边三角形，∴AB₁=AA₁=AP=2+√(3)，
∴x=y=2+√(3)，
∴x+y的最大值为4+2√(3)，
同理可求出x+y的最小值为4-2√(3)．
故选：B．