如图1，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥A-BCDE（如图2）．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．

Question

如图1，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥A-BCDE（如图2）．

（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．

Answer 1

（1）证明：取线段AC的中点M，连结MF、MB．
∵F为AD的中点，
∴MF∥CD，且MF=(1)/(2)CD．
在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
∴BE∥CD，且BE=(1)/(2)CD．
∴MF∥BE，且MF=BE．
∴四边形BEFM为平行四边形，
∴EF∥BM．又EF⊄平面ABC，BM⊂平面ABC，
∴EF∥平面ABC．   
（2）在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD=2，AB=4，E为AB的中点，
∴△ADE、△CBE都是等腰直角三角形，且AD=AE=EB=BC=2．
∴∠DEA=∠CEB=45°，且DE=EC=2√(2)．
又∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°，
∴∠DEC=90°．
又∵平面ADE⊥平面BCDE，
平面ADE∩平面BCDE=DE，CE⊂平面BCDE，
∴CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥C-EFD的高．
∵F为AD的中点，
∴S_△EFD=(1)/(2)×(1)/(2)×AD•AE=(1)/(4)×2×2=1．
∴四面体FDCE的体积V=(1)/(3)×S_△EFD•CE=(1)/(3)×1×2√(2)=(2√(2))/(3)．