在梯形ABCD中,已知AD平行BC,AD垂直CD,BC=CD=2AD,E是边CD上一点,∠ABE=45,则tan∠AEB=?

Question

在梯形ABCD中,已知AD平行BC,AD垂直CD,BC=CD=2AD,E是边CD上一点,∠ABE=45,则tan∠AEB=?

Answer 1

终于做出来了,这道题还真麻烦,楼主请接收,看着好就采纳一下吧,累死我了 ：）
延长BE,交AD的延长线于F,
在三角形FAB和三角形ABD中,角DAB=角AFB是共用角,
角ADB=90-CDB=45度 （因为DC=CB,所以三角形DCB是等腰直角三角形,角CDB=45度）
而角FBA=角EBA=45度=角ADB,所以三角形FAB和ABD相似.
所以FA/AB=AB/AD
假设AD=1,则BC=CD=2,用勾股定理可以求得AB的长是根号5
所以FA = AB * AB / AD = 5,即FD = FA-AD = 5 - 1 = 4
又因为AD//BC,所以DF//BC,因此三角形DFE和EBC相似.
所以DE/EC = DF/BC = 4/2 = 2.而因为DC=2,所以DE = 4/3,EC=2/3
角AEB = 180 - 角AED - 角BEC
= (90 - 角AED) + (90 - 角BEC)
= 角EAD + 角EBC
所以tan(AEB) = tan(EAD + EBC)
= (tan(EAD) + tan(EBC)) / (1 - tan(EAD)tan(EBC))
tanEAD = ED/AD = 4/3, tanEBC = EC/BC = 1/3分别代入
tan(AEB) = (4/3 + 1/3) / (1-4/9) = (5/3) / (5/9) = 3
所求的值是3.