如图，把一块含45°直角三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合．正方形ABCD固定不动，让三角板绕点A旋转．（1）当三角板绕点A旋转到如图①的位置时，含45°角的两边分别与正方形

Question

如图，把一块含45°直角三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合．正方形ABCD固定不动，让三角板绕点A旋转．

（1）当三角板绕点A旋转到如图①的位置时，含45°角的两边分别与正方形的边BC、DC交于点E、F，求证：EF=BE+DF；
（2）当三角板绕点A旋转到如图②的位置时，含45°角的两边分别与正方形的CB、DC两边的延长线交于点E、F．试写出EF、BE和DF三条线段满足的数量关系，不必证明．
（3）在图①中，当正方形ABCD的边长为6，EF=5，BE的长为___．

Answer 1

（1）EF=BE+DF．
延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，

∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠DAF+∠DAG=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°，
∵AF=AF，
∴△GAF≌△EAF，
∴EF=GF，
∴GF=DF+DG=DF+BE，
即：EF=DF+BE．
（2）EF=DF-BE．
在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，

∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，
∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，
∴∠DAH+∠BAF=45°，
∴∠HAF=45°=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△HAF≌EAF（SAS），
∴HF=EF，
∵DF=DH+HF，
∴EF=DF-BE．
（3）如图③，

由（1）中结论可知：EF=DF+BE，
∵AB=BC=CD=AD=6，
设BE=x，则CE=6-x，
∵EF=5，
∴DF=5-x，
∴FC=1+x，
在Rt△CEF中，EF²=FC²+CE²，
∴25=（1+x）²+（6-x）²，
解得：x=2或x=3，
即BE的长为2或3．