有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每

Question

有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为 V 立方米，每天流出湖泊的水量都是 r 立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用 g ( t )表示某一时刻 t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻 t 时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天 p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式 g ( t )=  +［ g (0)- ］· e ( p ≥0) 其中， g (0)是湖水污染的初始质量分数.

（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； 

（2）求证：当 g (0)< 时，湖泊的污染程度将越来越严重； 

（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？

Answer 1

(1)  (2) 证明见解析（3）  ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%

解析:

（1）∵ g ( t )为常数   有 g (0)- =0 ∴ g (0)= .                                                      

(2) 我们易证得0< t ₁ < t ₂ 则

g ( t ₁ )- g ( t ₂ )=［ g (0)- ］ e -［ g (0)- ］ e =［ g (0)- ］［ e - e ］=［ g (0)- ］

∵ g (0)· <0 t ₁ < t ₂ e > e

∴ g ( t ₁ )< g ( t ₂ )    .                                                                                                                                

故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.                                        

(3)污染停止即 P =0， g ( t )= g (0)· e 设经过 t 天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即 g ( t )=5% g(0)

∴ = e ，∴ t =  ln20，

故需要  ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.