（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点

Question

（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， BC ＝30， AB ＝50．点 P 是 AB 边上任意一点，直线 PE ⊥ AB ，与边 AC 或 BC 相交于 E ．点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段 BP 上， EM ＝ EN ， ．
（1）如图1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长；
（2）如图2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A 、 C 重合，设 AP ＝ x ， BN ＝ y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△ AME ∽△ ENB （△ AME 的顶点 A 、 M 、 E 分别与△ ENB 的顶点 E 、 N 、 B 对应），求 AP 的 长．

Answer 1

(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分)
[解] (1) 由 AE =40， BC =30， AB =50，Þ CP =24，又sinÐ EMP = Þ CM =26。
(2) 在Rt△ AEP 與Rt△ ABC 中，∵Ð EAP =Ð BAC ，∴ Rt△ AEP ~ Rt△ ABC ，
∴ ，即 ，∴ EP = x ，
又sinÐ EMP = ÞtgÐ EMP = = Þ = ，∴ MP = x = PN ，
B N = AB - AP - PN =50- x - x =50- x (0< x <32)。
(3) j當 E 在線段 AC 上時，由(2)知， ，即 ，Þ EM = x = EN ，
又 AM = AP - MP = x - x = x ，
由題設△ AME ~ △ ENB ，∴ ，Þ = ，解得 x =22= AP 。
k當 E 在線段 BC 上時，由題設△ AME ~ △ ENB ，∴Ð AEM =Ð EBN 。
由外角定理，Ð AEC =Ð EAB +Ð EBN =Ð EAB +Ð AEM =Ð EMP ，
∴ Rt △ ACE ~ Rt △ EPM ，Þ ，即 ，Þ CE = …j。
設 AP = z ，∴ PB =50- z ，
由 Rt △ BEP ~ Rt △ BAC ，Þ ，即 = ，Þ BE = (50- z )，∴ CE = BC - BE =30- (50- z )…k。
由j，k，解 =30- (50- z )，得 z =42= AP 。

略