2012全国卷理科数学最后一题的详细答案22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下：x1=2,xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.（

Question

2012全国卷理科数学最后一题的详细答案
22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）
函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下：x1=2,xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式.

Answer 1

过两点（a1,b1）,（a2,b2）公式为f(x)=(b2-b1)/(a2-a1)*(x-a1)+b1.
那么PQn过(Xn+1 ,0)点.
即有(f(Xn)-5)/（Xn-4）（Xn+1 -4)+5=0,带入计算有 Xn+1=4-5/(xn +2),
两边都+1,
则Xn+1 +1 = 5(xn +1)/(xn +2),倒过来,令yn=1/(xn +1);
即得5* yn+1 =1 + yn;
两边减去5/4,有
5(yn+1 -1/4)=yn -1/4;
由yn=1/(xn+1),知y1-1/4=1/3-1/4=1/12;
则yn=1/12*(1/5)^(n-1)+1/4;
则xn的通项公式为
xn=[9-(1/5)^(n-1)]/[(1/5)^(n-1)+3];（可带入n=2验算,得x2=（44/5)/(16/5)=11/4符合）
这里只写了第二问,但有此通项证明第一问亦无不可.
第一问思路 4-5/(x+2)>x,在x∈(-1,3)必然成立,则证明两边即可,归纳可得x2.得证.