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如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与点A(1,0)与点B,且过点C(0,3),(1)求该抛物线的解析式;(2)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?,若存在,求

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如图,抛物线y=-x2+bx+c 与x轴交与点A(1,0)与点B,且过点C(0,3),
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?,若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)将A(1,0),B(-3,0)代y=-x2+bx+c中得
−1+b+c=0
−9−3b+c=0

b=−2
c=3

∴抛物线解析式为:y=-x2-2x+3;

(2)存在.
理由如下:设P点(x,-x2-2x+3)(-3<x<0)
∵S△BPC=S四边形BPCO-S△BOC=S四边形BPCO-
9
2

若S四边形BPCO有最大值,则S△BPC就最大,
过P点作PE⊥BO,
∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC(9分)
=
1
2
BE•PE+
1
2
OE(PE+OC)
=
1
2
(x+3)(-x2-2x+3)+
1
2
(-x)(-x2-2x+3+3)=-
3
2
(x+
3
2
)2+
9
2
+
27
8

当x=-
3
2
时,S四边形BPCO最大值=
9
2
+
27
8

∴S△BPC最大=
9
2
+
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