过点P（1，4）引一条直线l，使它在两条坐标轴上的截距都是正数且它们的和最小，求直线l的方程．

Question

过点P（1，4）引一条直线l，使它在两条坐标轴上的截距都是正数且它们的和最小，求直线l的方程．

Answer 1

设直线方程为(x)/(a)+(y)/(b)＝1（a＞0，b＞0）
∵P（1，4）在直线l上，
∴(1)/(a)+(4)/(b)＝1，
由此可得直线l在两条坐标轴上的截距的和满足
a+b=（a+b）（(1)/(a)+(4)/(b)）=5+(b)/(a)+(4a)/(b)
∵a＞0，b＞0，得(b)/(a)+(4a)/(b)≥2√((b)/(a)•(4a)/(b))=4
∴当且仅当(b)/(a)=(4a)/(b)=2时，即a=3且b=6时，
直线l在两条坐标轴上的截距的和得最小值为5+4=9
此时直线方程为(x)/(3)+(y)/(6)＝1，即2x+y-6=0
∴直线l的方程是2x+y-6=0．