风能是一种环保型能源．目前我国风力发电总装机容量已达2640MW（MW表示兆瓦）．据勘测我国的风力资源至少有2.53×105MW，所以风力发电是很有前途的一种能源．风力发电是将风的动能转化为

Question

风能是一种环保型能源．目前我国风力发电总装机容量已达2640MW（MW表示兆瓦）．据勘测我国的风力资源至少有2.53×10⁵MW，所以风力发电是很有前途的一种能源．
风力发电是将风的动能转化为电能．设空气的密度为ρ，水平风速为v，风力发电机每个叶片长为L，设通过叶片旋转所围成的圆面积内的所有风能转化为电能的效率为η．求：
（1）该风力发电机的发电功率P的数学表达式．
（2）若某地平均风速为v=10m/s，所用风力发电机的叶片长L=4m，空气密度ρ=1.3kg/m³，效率为η=25%，每天平均发电20小时，每天能获得多少电能？

Answer 1

（1）叶片旋转所形成的圆面积为S=πL²
t秒内流过该圆面积的风柱体积为V=Svt=πL²vt 
风柱体的质量为 m=ρV=ρπL²vt               
风柱体的动能为 E_k=(1)/(2)mv²=(1)/(2)ρπL²v³t          
转化成的电能为 E=ηE_k=(1)/(2)ηρπL²v³t           
发出的电功率为 P=(E)/(t)=(1)/(2)ηρπL²v³           
（2）将已知数据代入可求得每天获得的电能为
E=(1)/(2)×0.25×1.3×3.14×4²×10³×20×3600 J
=5.88×10⁸ J                            
答：（1）该风力发电机的发电功率P的数学表达式为 P=(1)/(2)ηρπL²v³．
（2）每天能获得电能为5.88×10⁸ J．