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如图所示,原长L0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内,弹簧的一端固定在槽的O端,另一端连接一小球.这一装置可从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置.设弹簧的形变总是在其
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如图所示,原长L0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内,弹簧的一端固定在槽的O端,另一端连接一小球.这一装置可从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置.设弹簧的形变总是在其弹性限度内.试在下述(a)、(b)两种情况下,分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h0.
(1)在转动过程中,发现小球距原水平面的高度变化出现极大值,且极大值hm为40厘米.
(2)在转动过程中,发现小球离原水平的高度不断增大.
(1)在转动过程中,发现小球距原水平面的高度变化出现极大值,且极大值hm为40厘米.
(2)在转动过程中,发现小球离原水平的高度不断增大.
▼优质解答
答案和解析
(1)因为整个缓慢移动的过程中的每时每刻都受力平衡,设弹簧长度为x,转过角度为α,
故有:mgsinα=k(L0-x)①
h=xsinα②
将①中的x带入②得:h=
小球距原水平面的高度出现极大值为40厘米,根据二次三项式的最值条件得:40mg=
故得,k=
=
转到竖直位置时,小球的高度 h0=L0−
=100−
cm=37.5cm
(2)在转动过程中设弹簧长度为x,转过角度为θ,
故有:mgsinθ=k(L0-x)①
h=xsinθ②
联立解得h=(l0sinθ-
sin2θ)=-
(sinθ−
)2+
因小球离原水平的高度不断增大,故极值点不存在,即sinθ>1,得kL0>2mg,代入解得50cm≤h0≤100cm
答:(1)在转动过程中,发现小球距原水平面的高度变化出现极大值,且极大值hm为40厘米,h0为37.5厘米.
(2)在转动过程中,发现小球离原水平的高度不断增大,50cm≤h0≤100cm.
故有:mgsinα=k(L0-x)①
h=xsinα②
将①中的x带入②得:h=
kx(L0−x) |
mg |
小球距原水平面的高度出现极大值为40厘米,根据二次三项式的最值条件得:40mg=
| ||
4 |
故得,k=
160mg | ||
|
1.6mg |
100 |
转到竖直位置时,小球的高度 h0=L0−
mg |
k |
100 |
1.6 |
(2)在转动过程中设弹簧长度为x,转过角度为θ,
故有:mgsinθ=k(L0-x)①
h=xsinθ②
联立解得h=(l0sinθ-
mg |
k |
mg |
k |
kl0 |
2mg |
| ||
4mg |
因小球离原水平的高度不断增大,故极值点不存在,即sinθ>1,得kL0>2mg,代入解得50cm≤h0≤100cm
答:(1)在转动过程中,发现小球距原水平面的高度变化出现极大值,且极大值hm为40厘米,h0为37.5厘米.
(2)在转动过程中,发现小球离原水平的高度不断增大,50cm≤h0≤100cm.
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