函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[4，+∞）C．{4}D．[2，4]

Question

函数f（x）=ax³-3x+1 对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a 的取值范围为（　　）

A．[2，+∞）
B．[4，+∞）
C．{4}
D．[2，4]

Answer 1

①当x=0时，f（x）=1≥0，对于a∈R皆成立．
②当0＜x≤1时，若总有f（x）≥0，则ax³-3x+1≥0，∴a≥(3)/(x2)−(1)/(x3)，
令g（x）=(3)/(x2)−(1)/(x3)，g^′（x）=(−6)/(x3)+(3)/(x4)=(−6(x−(1)/(2)))/(x4)，令g^′（x）=0，解得x=(1)/(2)．
当0＜x＜(1)/(2)时，g^′（x）＞0；当(1)/(2)＜x≤1时，g^′（x）＜0．
∴g（x）在x=(1)/(2)时取得最大值，g（(1)/(2)）=4，∴a≥4．
③当-1≤x＜0时，若总有f（x）=0，则 ax³-3x+1≥0，∴a≤(3)/(x2)−(1)/(x3)．
令h（x）=(3)/(x2)−(1)/(x3)，则h^′（x）=(−6(x−(1)/(2)))/(x4)≥0，
∴h（x）在[-1，0）上单调递增，
∴当x=-1时，h（x）取得最小值，h（-1）=4，∴a≤4．
由①②③可知：若函数f（x）=ax³-3x+1 对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a必须满足

a∈R

a≥4

a≤4

，解得a=4．
∴a 的取值范围为{4}．
故选C．