若使集合A={x|（kx-k2-6）（x-4）>0，x∈Z}中的元素个数最少，则实数k的取值范围是．

Question

若使集合A={x|（kx-k²-6）（x-4）>0，x∈Z}中的元素个数最少，则实数k的取值范围是___．

Answer 1

集合A={x|（kx-k²-6）（x-4）>0，x∈Z}，
∵方程（kx-k²-6）（x-4）=0，
解得：x1=k+(6)/(k)，x₂=4，
∴（kx-k²-6）（x-4）>0，x∈Z
当k=0时，A=（-∞，4）；
当k>0时，4<k+(6)/(k)，A=（-∞，4）∪（k+(6)/(k)，+∞）；
当k<0时，k+(6)/(k)<4，A=（k+(k)/(6)，4）．
当k≥0时，集合A的元素的个数无限；
当k<0时，k+(6)/(k)<4，A=（k+(k)/(6)，4）．集合A的元素的个数有限，此时集合A的元素个数最少．
则有：

k<0

k+(6)/(k)<4

，解得：k<0．
故答案为：（-∞，0）．