设x＞0，y＞0，z＞0，（Ⅰ）比较x2x+y与3x-y4的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：x3x+y+y3y+z+z3z+x≥xy+yz+zx2

Question

设x＞0，y＞0，z＞0，
（Ⅰ）比较 (x2)/(x+y) 与 (3x-y)/(4) 的大小；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明： (x3)/(x+y) +(y3)/(y+z) +(z3)/(z+x) ≥(xy+yz+zx)/(2) ．

Answer 1

（Ⅰ）∵ (x2)/(x+y) -(3x-y)/(4) =((x-y)2)/(4(x+y)) ≥0 ，∴ (x2)/(x+y) ≥(3x-y)/(4) ．（5分）
（Ⅱ）由（1）得 (x3)/(x+y) ≥(3 x2 -xy)/(4) ．
类似的 (y3)/(y+z) ≥(3 y2 -yz)/(4) ， (z3)/(z+x) ≥(3 z2 -zx)/(4) ，（7分）
又 x 2 + y 2 + z 2 -(xy+yz+zx)=(1)/(2) [(x-y ) 2 +(y-z ) 2 +(z-x ) 2 ]≥0 ；
∴x ² +y ² +z ² ≥xy+yz+zx（9分）（另证：x ² +y ² ≥2xy，y ² +z ² ≥2yz，z ² +x ² ≥2zx，三式相加）．
∴ (x3)/(x+y) +(y3)/(y+z) +(z3)/(z+x) ≥(3 x2 -xy+3 y2 -yz+3 z2 -zx)/(4) = (3( x2 + y2 + z2 )-xy-yz-zx)/(4) ≥(3(xy+yz+zx)-xy-yz-zx)/(4) =(xy+yz+zx)/(2) （12分）