设不等式组x＞0y＞0y≤−nx+3n所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N*）．（Ⅰ）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；（Ⅱ）设bn

Question

设不等式组

x＞0

y＞0

y≤−nx+3n

所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；
（Ⅱ）设bn＝2nf(n)，
    （ⅰ）求数列{b_n}的前n项的和S_n；
    （ⅱ）请探究是否存在正整数n，使(Sn−bn)/(Sn+1−bn+1)≤(1)/(5)成立？若存在，求出所有正整数n；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由已知易于得到f（1）=3，f（2）=6…（2分）
当x=1，y=2n，可取格点2n个；
当x=2，y=n，可取格点n个，
∴f（n）=3n…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知：b_n=3n•2ⁿ，
S_n=3•2¹+6•2²+…+3n•2ⁿ，…①
∴2S_n=3•2²+6•2³+…+3（n-1）•2ⁿ+3n•2ⁿ⁺¹，…②
∴①-②得-S_n=3（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹=3（2ⁿ⁺¹-2）-3n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=6+（3n-3）•2ⁿ⁺¹…（8分）
（ⅱ）由题意可得Sn−bn＝6+(3n−6)2n，
∴Sn+1−bn+1＝6+(6n−6)2n，
∴(Sn−bn)/(Sn+1−bn+1)＝(2+(n−2)2n)/(2+(2n−2)2n)，
令(2+(n−2)2n)/(2+(2n−2)2n)≤(1)/(5)得（8-3n）2ⁿ≥8，
设Tn＝(8−3n)2n，则当n=1，T_n=10≥8，当n=2，T_n=8≥8；
当n≥3，（8-3n）＜0，T_n＜0，T_n≥8不成立．
综上所述，符合条件的正整数n存在，且只能等于1或者2…（12分）