给出下列命题：①若a>0，b>0，c>0，a+b+c=1，则a2+b2+c2≥13；②已知x>0，y>0，1x+4y=1，若不等式m2-8m-x-y<0恒成立，则实数m的取值范围为（-1，9）；③不等式1<|3x+4|≤4的解集为（-1，0

Question

给出下列命题：
①若a>0，b>0，c>0，a+b+c=1，则a²+b²+c²≥

(1)/(3)；
②已知x>0，y>0，(1)/(x)+(4)/(y)=1，若不等式m²-8m-x-y<0恒成立，则实数m的取值范围为（-1，9）；
③不等式1<|3x+4|≤4的解集为（-1，0]；
④关于x的不等式|x-1|+|x+2|<m的解集不是空集，则m>3．
其中正确的命题个数为（　　）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

Answer 1

①∵a>0，b>0，c>0，a+b+c=1，
∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤a²+b²+c²+（a²+b²）+（a²+c²）+（b²+c²）=3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥(1)/(3)（当且仅当a=b=c=(1)/(3)时取“=”），故①正确；
②∵x>0，y>0，(1)/(x)+(4)/(y)=1，
∴x+y=（x+y）（(1)/(x)+(4)/(y)）=1+(y)/(x)+(4x)/(y)+4≥5+2√((y)/(x)•(4x)/(y))=9，即（x+y）_min=9．
∵不等式m²-8m-x-y<0恒成立，
∴m²-8m<x+y恒成立，即m²-8m<（x+y）_min=9，解得：-1<m<9，
∴实数m的取值范围为（-1，9），故②正确；
③由1<|3x+4|≤4得：-4≤3x+4<-1或1<3x+4≤4，解得-(8)/(3)≤m<-(5)/(3)或-1<m≤0，
故不等式1<|3x+4|≤4的解集为[-(8)/(3)，-(5)/(3)）∪（-1，0]，故③不正确；
④∵|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
∴关于x的不等式|x-1|+|x+2|<m的解集不是空集，则m>3，故④正确．
综上所述，正确的命题个数为3个，
故选：B．