用定义证明n^a/c^n的极限为0（a>0,c>1)

Question

用定义证明n^a/c^n的极限为0（a>0,c>1)

Answer 1

　　证明 lim(n→∞)(n^a)/(c^n) = 0（c>1,a>0） .
　　证 因 a>0,取 j=[a]+1,则 a≤j　　　lim(n→∞)[(n^a)/(c^n)]
　　= lim(x→+∞)[(x^a)/(c^x)] (0/0)
　　= lim(x→+∞){[ax^(a-1)]/[(c^x)lnc]} (a-1>0,0/0)
　　= lim(x→+∞){[a(a-1)x^(a-2)]/[(c^x)(lnc)^2]} 　 (a-2>0,0/0)
　　= ……
　　= lim(x→+∞){[a(a-1)…(a-j+1)x^(a-j)]/[(c^x)(lnc)^j]} (a-j≤0)
　　= lim(x→+∞){[a(a-1)…(a-j+1)]/[[x^(j-a)](c^x)(lnc)^j]} (a-j≤0)
　　= 0.