∫(x^2)e^-x((1+z)/5)dx上限无穷下线0.如何解出Γ(3)/[(1+z)/5]^3

Question

∫(x^2)e^-x((1+z)/5)dx
上限无穷下线0.
如何解出Γ(3)/[(1+z)/5]^3

Answer 1

Γ(s)=∫[0,+∞] e^(-x) x^(s-1)dx (s>0)
令u=x(1+z)/5,t=(1+z)/5,则
∫[0,+∞] e^(-x(1+z)/5) x^2 dx
=t^(-1) ∫[0,+∞] e^(-u) (u/t)^2 du 这里z是和x无关的变量,可以看作是常数提到外面
=t^(-3) ∫[0,+∞] e^(-u) u^(3-1) du
=t^(-3) * Γ(3)
=Γ(3)/[(1+z)/5]^3