已知x,y,z>0,且x+y+z=1,求证:(1/x^2-x)(1/y^2-y)(1/z^2-z)>=(26/3)^3

Question

已知x,y,z>0,且x+y+z=1,求证:(1/x^2-x)(1/y^2-y)(1/z^2-z)>=(26/3)^3

Answer 1

用柯西不等式的推广形式：
(x11+x12+...+x1m)(x21+x22+...+x2m)...(xn1+xn2+...+xnm)
≥[(x11*x21*...*xn1)^(1/n)+(x12*x22*...*xn2)^(1/n)+...+(x1m*x2m*...*xnm)^(1/n)]^n
不等式等号成立的条件是
x21/x11=x22/x12=...=x2m/x1m=k1
x31/x11=x32/x12=...=x3m/x1m=k2
.
xn1/x11=xn2/x12=...=xnm/x1m=k(n-1)
在这里,对于要求证不等式的左边,对应于柯西不等式,有
n=3, m=2
x11=1/x^2, x12=-x
x21=1/y^2, x22=-y
x31=1/z^2, x32=-z
∴左边=(1/x^2-x)(1/y^2-y)(1/z^2-z)
≥{(1/x^2*1/y^2*1/z^2)^(1/3)+[(-x)(-y)(-z)]^(1/3)}^3 (1)
=[(1/xyz)^(2/3)-(xyz)^(1/3)]^3
此不等式等号成立的条件是
(1/y^2)/(1/x^2)=(1/z^2)/(1/x^2)
(-y)/(-x)=(-z)/(-x)
又已知x,y,z>0, x+y+z=1
∴(1/3)^3=[(x+y+z)/3]^3≥xyz (均值不等式) (2)
此不等式等号成立的条件是
x=y=z=1/3
显然,此时x,y,z的值同时满足不等式(1)和(2)的等号
∴有 -(xyz)^(1/3)≥[(1/3)^3]^(1/3)=1/3,
(1/xyz)^(2/3)≥(3^3)^(2/3)=3^2=9
带入不等式(1),可得
左边≥[(1/xyz)^(2/3)-(xyz)^(1/3)]^3
≥[9-1/3]^3
=(26/3)^3
=右边
即有 左边≥右边
∴不等式成立,得证