3元2次方程解法(x^2+y^2-1)^3-x^2*y^3=0

Question

3元2次方程解法 (x^2+y^2-1)^3-x^2*y^3=0

Answer 1

首先,这是一个2元6次方程
如果你要求实数解,肯定有无数多组.两边同时开3次方可得
x^2 + y^2 - 1 = x^(2/3) * y
把这个看作关于y的二次方程,对每一个实数x,用二次方程的求根公式就可以解出y（当然对x要求判别式不小于0）
如果你要求整数解,那么上面可以看出x是一个立方数,设x = z^3,不定方程化为
z^6 + y^2 - 1 = z^4 * y,关于y的二次方程的判别式△必须是完全平方数
即z^8 - 4 * (z^6 -1) = k^2
整理得(z^4 - 2 * z^2) ^2 + 4 * z^4 + 4 = k^2
与(z^4 - 2 * z^2 + 1) ^2 - (3*z^4 - 4 * z^2 - 3) = k^2
如果3*z^4 - 4*z^2 - 3 > 0,那么k^2就严格夹在两个完全平方数之间,因而不可能是完全平方数
所以3 * z^4 - 4*z^2 - 3