大求极限lim[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)x趋于0答案是abc的开3次方lim(sinx^tanx)x>pai/2这是高等数学同济第5版上第一章后的习题

Question

大 求极限
lim[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x) x趋于0 答案是abc的开3次方
lim(sinx^tanx) x>pai/2
这是 高等数学同济第5版上 第一章后的习题

Answer 1

楼上这种作法虽然结果正确,但最好别用这种方法.因为取对数的时候必须保证这个式子大于零,才有意义.
标准解法：
1）这是一个1的无穷次方型极限,应该立即想到常用的极限：lim(1+1/x)^x=e,x趋向于无穷.原式化为lim[1+(a^x+b^x+c^x-3)/3]的指数上为[3/(a^x+b^x+c^x-3)]*[(a^x+b^x+c^x-3)/3x]
利用常用极限可得：原极限=e^[(a^x+b^x+c^x-3)/3x]
于是转变成求lim[(a^x+b^x+c^x-3)/3x],此时再用罗毕达法则,分子分母分别求导,变成lim[(a^x*lna+b^x*lnb+c^x*lnc)/3]=(lna+lnb+lnc)/3=ln[(abc)^(1/3)]
因为求出来的这个式子是自然常数e的指数上,所以原极限=(abc)^(1/3)
2）同一的作法.
变成lim[1+(sinx-1)]指数上是[1/(sinx-1)]*(sinx-1)*tanx=e^[lim(sinx-1)*tanx]
转变成求lim(sinx-1)*tanx,x趋向于pi/2.
lim(sinx-1)*tanx=lim[(sinx)^2-sinx]/cosx
用一下罗毕达法则=lim[(2sinxcosx-cosx]/(-sinx)=0
所以原极限=e的0次方＝1
注：1）解题时务必注意变量的定义域,不能擅自扩大或缩小变量的定义域.
2）尽量使用运用基本概念解题.
3）“饿发包”这个解法只有在能够保证原式大于零是才能用.