lim((根号1+x+根号1-x)-2)/X^2

Question

lim((根号1+x+根号1-x)-2)/X^2

Answer 1

因为原式定义域为【-1,1】,令x=sinθ （ θ∈【-π/2,π/2】）
则√1+x=√1+sinθ=√1+2sinθ/2 cosθ/2=(sinθ/2+cosθ/2)的绝对值,因为θ/2∈【-π/4,π/4】,得√1+sinθ=sinθ/2+cosθ/2,同理可求出√1-sinθ=cosθ/2-sinθ/2
所以√1+sinθ+√1-sinθ-2=2cosθ/2 -2=-4(sinθ/4)^2
而原式分母
x^2=（sinθ）^2(2sinθ/2cosθ/2)^2=4(sinθ/2)^2(cosθ/2)^2=16(sinθ/4)^2(cosθ/4)^2(cosθ/2)^2
这样原式就化为θ→0时,lim-4(sinθ/4)^2/16(sinθ/4)^2(cosθ/4)^2(cosθ/2)^2
=-1/4*lim 1/[(cosθ/4)^2(cosθ/2)^2]=-1/4