高等数学应用题.设物体在点（x,y,z）处的密度ρ=xyz,求立方体x[0,1],y[0,2],z[0,3]的质量.

Question

高等数学应用题.
设物体在点（x,y,z）处的密度ρ=xyz,求立方体x[0,1],y[0,2],z[0,3] 的质量.

Answer 1

解法（一）：
长方体x[0,1],y[0,2],z[0,3] 的体积为v＝1×2×3＝6.
∵ρ＝xyz,0≤x≤1,0≤y≤2,0≤z≤3,
∴ρ的平均值＝［（0＋1）／2］×［（0＋2）／2］×［（0＋3）／2］＝3／4.
∴长方体x[0,1],y[0,2],z[0,3] 的质量为
m＝ρ的平均值×v＝（3／4）×6＝9／2.
解法（二）：
点（x,y,z）定义在如下有界闭区域Ω内：0≤x≤1,0≤y≤2,0≤z≤3.
dm＝ρdv＝xyzdxdydz.
∴长方体x[0,1],y[0,2],z[0,3] 的质量为
m＝∫∫∫（在Ω内）xyzdxdydz＝∫（0→3）｛∫（0→2）［∫（0→1）xyzdx］dy｝dz
＝［（1／2）×1^2］×［（1／2）×2^2］×［（1／2）×3^2］
＝9／2.