已知XYZ是正整数,且X平方+Y平方=Z平方,则证明,XY至少有一个是4的倍数

Question

已知XYZ是正整数,且X平方+Y平方=Z平方,则证明,XY至少有一个是4的倍数

Answer 1

共分为2大部分进行证明：
1、
首先证明xy中至少有一个是偶数,
假设xy都是奇数,则x=2m+1,y=2n+1
z^2=x^2+y^2=4m^2+4n^2+4m+4n+2
=4（m^2+n^2+m+n）+2
显然4（m^2+n^2+m+n）+2不是完全平方数
那么不成立
2、
证明XY至少有一个是4的倍数
由第1部分可假设x是偶数,下面分为两种情况,即y是奇数或偶数的情况进行证明
（1）y是奇数,则
x^2+y^2=z^2中,z肯定是奇数
设y=2a+1,z=2b+1
x^2
=z^2-y^2=4b^2+4b-4a^2-4a=4(b^2+b-a^2-a)
=4(b-a)(b+a+1)
=4(b+a-2a)(b+a+1)
=4(b+a)(b+a+1)-8a(b+a+1)
由于(b+a)(b+a+1)是偶数,因此x^2是8的倍数,所以x^2也就是16的倍数,
因此x是4的倍数
（2）y是偶数,那么z也是偶数
此时,x,y,z都是偶数,如果都除以2以后,便成为了第1大部分的题目了
因此x/2,y/2中必定有一个是2的倍数
因此x,y中必定有一个是4的倍数
由上面2大部分可以得到XY至少有一个是4的倍数
证毕