已知曲线xyz＝2；x－y－z＝0上点（2,1,1）处的一个切向量与z轴正向成锐角,求此向量与y轴正向所夹的角……

Question

已知曲线xyz＝2；x－y－z＝0上点（2,1,1）处的一个切向量与z轴正向成锐角,求此向量与y轴正向所夹的角……

Answer 1

"成锐角"往往说明那边可能有两个解,题目帮你排除掉一个
在点(2,1,1)的邻近区域内,xyz=2可以看作一个小的平面
z= 2/(xy), dz/dx = -2/yx^2= - 1/2
dz/dy = -2/xy^2 = -1
因此该切平面的方程为z-1 = -0.5(x-2) -(y-1)
也就是x+2y+2z = 6
该平面和x-y-z=0的交线的方向矢量就是切向量（很显然,直线的方向矢量可以指向两个方向,因此有两个,这是为什么需要“成锐角”的条件）
平面x+2y +2z =6的法向量为(1,2,2)
平面x-y-z=0的法向量为(1,-1,-1)
他们的叉乘就是所求切向量,为(0, 3, -3)或者(0,-3,3)
既然是z轴正方向成锐角,切向量的z分量大于0,因此(0,-3,3)是所述向量
它在y轴上的投影是(0, -3sqrt(2)/2,0)
夹角余弦为-3sqrt(2)/2 /(3sqrt(2)) = -1/2
因此夹角是120度
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