如图，在等边△ABC中，AB=2，N为AB上一点，且AN=1，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是．

Question

如图，在等边△ABC中，AB=2，N为AB上一点，且AN=1，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是___．

Answer 1

连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．
取BN中点E，连接DE．
∵等边△ABC的边长为2，AN=1，
∴BN=AC-AN=2-1=1，
∴BE=EN=AN=1，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DE是△BCN的中位线，
∴CN=2DE，CN∥DE，
又∵N为AE的中点，
∴M为AD的中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴DE=2MN，
∴CN=2DE=4MN，
∴CM=(3)/(4)CN．
在直角△CDM中，CD=(1)/(2)BC=1，DM=(1)/(2)AD=(√(3))/(2)，
∴CM=√(CD2+MD2)=(3√(3))/(4)，
∴CN=(4)/(3)×(3√(3))/(4)=√(3)．
∵BM+MN=CN，
∴BM+MN的最小值为√(3)．
故答案为√(3)