已知数列{an}中，a1=1，且对任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an+mn，则2017i=11ai=（）A.20172018B.20162017C.20181009D.20171009

Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的m，n∈N^*，都有a_m+n=a_m+a_n+mn，则

2017

i=1

(1)/(ai)=（　　）

A.

(2017)/(2018)

B.

(2016)/(2017)

C.

(2018)/(1009)

D.

(2017)/(1009)

Answer 1

∵a₁=1，且对任意的m，n∈N^*，都有a_m+n=a_m+a_n+mn，
∴令m=1，则a_n+1=a₁+a_n+n=a_n+n+1，
即a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n-a_n-1=n（n≥2），
…，
a₂-a₁=2，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1=((n+1)n)/(2)，
∴(1)/(an)=(2)/(n(n+1))=2（(1)/(n)-(1)/(n+1)），
∴

2017

i=1

(1)/(ai)=2[（1-(1)/(2)）+（(1)/(2)-(1)/(3)）+…+（(1)/(2016)-(1)/(2017)）+（(1)/(2017)-(1)/(2018)）]=2（1-(1)/(2018)）=(2017)/(1009)，
故选：D．