用柯西不等式证明问题已知x,y,z>0求证x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy)>=1

Question

用柯西不等式证明问题
已知x,y,z>0 求证x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy)>=1

Answer 1

楼上可以看看用柯西是否更加简洁:)证明:x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy) =x^4/(x^2y^2+x^2z^2+x^2yz)+y^4/(y^2z^2+x^2y^2+y^2zx)+z^4/(x^2z^2+y^2z^2+z^2xy) >=(x^2+y^2+z^2)^2/(2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+x^2yz+y^2zx+z^2xy)(x^2+y^2+z^2)^2>=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+x^2yz+y^2zx+z^2xyx^4+y^4+z^4>=x^2yz+y^2zx+z^2xy此式可以利用均值不等式两轮或一轮得到.两轮就留给楼主思考吧,下面给出一轮的一个很美妙的证明:(局部不等式)x^4/4+x^4/4+y^4/4+z^4/4>=x^2yzEND.