如图,正方形ABCD,M是AB边上的中点,BN为∠CBE的角平分线,连接DM,MN,使DM⊥MN,求证：DM=MN,

Question

如图,正方形ABCD,M是AB边上的中点,BN为∠CBE的角平分线,连接DM,MN,使DM⊥MN,求证：DM=MN,

Answer 1

在AD上截取中点F,连接MF
∵正方形ABCD中,M是AB的中点
∴DF＝MB＝MA＝FA
∴∠DAM＝∠CBE＝90°
∴ΔAFM是等腰直角三角形
∴∠ANF＝45°
∵BN平分∠CBE
∴∠ABN＝∠NBE＝45°
∴∠DFM＝∠MBN＝135°
∵MN⊥DM
∴∠DMN＝90°
∴∠FMA＋∠NMB＋∠FMA＝90°
∴∠FMA＋∠NMB＝45°
∵∠NBE是ΔMBN的外角
∴∠NMB＋∠BNM＝45°
∴∠FMA＝∠BNM
∴ΔMFD≌ΔMBN
∴MD=MN