如图,在正方形ABCD中,E在BC上,F在AB上,连接EF、DE、DF,且∠FDE=45°.（1）试说明：EF=AF+CE（2）连接AC,分别交DF、DE于M、N.试说明：MN的平方=AM的平方+CN的平方.

Question

如图,在正方形ABCD中,E在BC上,F在AB上,连接EF、DE、DF,且∠FDE=45°.（1）试说明：EF=AF+CE
（2）连接AC,分别交DF、DE于M、N.试说明：MN的平方=AM的平方+CN的平方.

Answer 1

证明:(1)延长BA到G,使AG=CE,连接DG,则⊿DAG≌⊿DCE(SAS).
∴DG=DE;∠ADG=∠CDE,则∠EDG=∠CDA=90°.
∵∠EDF=45°.
∴∠GDF=∠EDF=45°;又DF=DF,DG=DE.
∴⊿GDF≌⊿EDF(SAS),故EF=GF=AF+AG=AF+CE.
(2)在DG上截取DH=DN,连接AH,MH.
∵DH=DN;∠ADH=∠CDN;DA=DC.
∴⊿ADH≌⊿CDN(SAS),AH=CN;∠DAH=∠DCN=45°;
同理可证:⊿HDM≌⊿NDM(SAS),MH=MN;
∴∠DAH+∠DAM=90°,得:MH²=AM²+AH²,故MN²=AM²+CN².