在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为l，∠B1C1O=60°，B1

Question

在平面直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁D₁、D₁ E₁E₂B₂、A₂B₂ C₂D₂、D₂E₃E4B₃…按如图所示的方式放置，其中点B₁在y轴上，点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃…在x轴上，已知正方形A₁B₁C₁D₁的边长为l，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…，则正方形A₂₀₁₇B₂₀₁₇C₂₀₁₇ D₂₀₁₇的边长是（　　）

A. （

(1)/(2)）²⁰¹⁶

B. （

(1)/(2)）²⁰¹⁷

C. （

(√(3))/(3)）²⁰¹⁶

D. （

(√(3))/(3)）²⁰¹⁷

Answer 1

∵正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，
∴D₁E₁=B₂E₂，D₂E₃=B₃E₄，∠D₁C₁E₁=∠C₂B₂E₂=∠C₃B₃E₄=30°，
∴D₁E₁=C₁D₁sin30°=(1)/(2)，
则B₂C₂=(B2E2)/(cos30°)=(√(3))/(3)=（(√(3))/(3)）¹，
同理可得：B₃C₃=(1)/(3)=（(√(3))/(3)）²，
故正方形A_nB_nC_nD_n的边长是：（(√(3))/(3)）^n-1，
则正方形A₂₀₁₇B₂₀₁₇C₂₀₁₇D₂₀₁₇的边长为：（(√(3))/(3)）²⁰¹⁶，
故选：C．