如图1，直角梯形FBCE中，四边形ADEF是正方形，AB=AD=2，CD=4．将正方形沿AD折起，得到如图2所示的多面体，其中面ADE1F1⊥面ABCD，M是E1C中点．（1）证明：BM∥平面ADE1F1；（2）求三棱锥D-BME1的体

Question

如图1，直角梯形FBCE中，四边形ADEF是正方形，AB=AD=2，CD=4．将正方形沿AD折起，得到如图2所示的多面体，其中面ADE₁F₁⊥面ABCD，M是E₁C中点．
（1）证明：BM∥平面ADE₁F₁；
（2）求三棱锥D-BME₁的体积．

Answer 1

证明：（1）取DE中点N，连结MN，AN．
在△EDC中，M，N分别为E₁C，E₁D的中点，
∴MN∥CD，MN=(1)/(2)CD．
由已知AB∥CD，AB=(1)/(2)CD，
∴MN∥AB，且MN=AB．
∴四边形ABMN为平行四边形，
∴BM∥AN．…（3分）
又∵AN⊂平面ADE₁F₁，且BM⊄平面ADE₁F₁，
∴BM∥平面ADE₁F₁．…（4分）
（2）面ADE₁F₁⊥面ABCD，E₁D⊂面ADE₁F₁，面ADE₁F₁∩面ABCD=AD，E₁D⊥AD，
∴E₁D⊥面ABCD
又∵BC⊂面ABCD，
∴E₁D⊥BC…（6分）
梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，∠A=90°，BC=BD=2√(2)
∴BD²+BC²=CD²，
∴∠CDB=90°，即BC⊥BD
又∵BD∩E₁D=D，
∴BC⊥平面BDE₁…（8分）
又BC⊂平面BCE₁，
∴平面BCE₁⊥平面BDE₁，
作DG⊥BE₁，则DG⊥平面BCE₁，即DG是所求三棱锥高…（10分）
三棱锥D-BME₁的体积V=(1)/(3)•DG•S△BME1=(1)/(6)•DG•S△BCE1，
在直角三角形BDE₁中，由面积关系可得DG=(2√(6))/(3)，又S△BCE1=2√(6)
∴V=(4)/(3)…（14分）