常微分方程关于化学反应的求救!考虑某种物质A经化学反应全部生成另一种物质B.设A的初始质量为m0克,在1小时内生成B物质g克.试求：（1）经过3小时后,A物质起反应的量是多少?（2）经过多

Question

常微分方程 关于化学反应的 求救!
考虑某种物质A经化学反应全部生成另一种物质B.设A的初始质量为m0克,在1小时内生成B物质g克.试求：
（1）经过3小时后,A物质起反应的量是多少?
（2）经过多少小时后,A物质中75%的量已经起了反应?

Answer 1

很有代表性的一类题目.
设t时刻已经转化了的物质A的质量为x(t),注意到由于质量守恒,同时x(t)等于t时刻物质B的质量,其中,把x视为连续可微.
由化学反应的性质,设t时刻的反应率x'(t)与AB两物质的质量之比成正比例关系,并有比例常数k.
可得方程x'(t)=kx/(m-x),并有初始条件t=0时x=0以及一个边界条件t=1时x=g.（这里加个扫盲贴士：通过学化学的朋友了解到,反应速率函数为一阶常微分方程的反应在化学里称为一级反应.）
由初始条件解得方程初值问题的解为：x=k*m*log(-m) - k*(t + m*log(t - m)).再由边界条件t=1时x=g.解得k=g/{m*log(-m) - [1+ m*log(1- m)]},带入得x=g*{m*log(-m) - [t + m*log(t - m)]}/{m*log(-m) - [1+ m*log(1- m)]} ----------方程一.方程一为最终结果,g和m都是常数,因此方程是x关于t的初等代数方程,第一问是问t=3的时候x得多少,第二问是问x=0.75m的时候t等于多少,这就是初等数学问题了,不再赘述.
楼上是错在两点：一是转化速度是一个随时间变化的连续函数,而非一个常数,二是转化物质量是一个关于时间的连续函数,而非是一小时一小时的离散函数.