四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．

Question

四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd，试判断四边形的形状．

Answer 1

由已知可得
a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd=0，
所以（a⁴-2a²b²+b⁴）+（c⁴-2c²d²+d⁴）+（2a²b²-4abcd+2c²d²）=0，
即（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0．
因为a，b，c，d都是实数，
所以（a²-b²）²≥0，（c²-d²）²≥0，（ab-cd）²≥0，
所

a2−b2＝0                ①

c2−d2＝0                ②

ab−cd＝0                 ③

 
由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有
a=b=c=d．
故此四边形为菱形．