如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈[12，52]时，函数y=f（x）的值域为（

Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为√(3)，动点P在对角线BD₁上，过点P作垂直于BD₁的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈[(1)/(2)，(5)/(2)]时，函数y=f（x）的值域为（　　）

A．[√(6)，3√(6)]
B．[(3√(6))/(2)，3√(6)]
C．[(3√(6))/(2)，9]
D．[√(6)，9]

Answer 1

∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为√(3)，
∴BD₁=√(3)AB=3，
当BP=(1)/(2)时，如图所示；

三棱锥B-EFG的底面是正三角形，设边长EF=a，则BE=(a)/(√(2))，
∴(1)/(3)•(√(3))/(4)a²•(1)/(2)=(1)/(3)•(1)/(2)•(a)/(√(2))•(a)/(√(2))•(a)/(√(2))；
解得a=(√(6))/(2)，
y=f（x）=(3√(6))/(2)；
当EF=√(2)AB=√(6)时，y=f（x）=3√(6)，如图所示；

(1)/(3)•(√(3))/(4)•√(6)•√(6)•BP=(1)/(3)•(1)/(2)•√(3)•√(3)•√(3)，
此时BP=1；
当BP=(3)/(2)时，截面为六边形EFGHIJ，
且EF=FG=GH=HI=IJ=JE=(1)/(2)AC=(√(6))/(2)，如图所示；

此时y=f（x）=(3√(6))/(2)；
∴x∈[(1)/(2)，(5)/(2)]时，函数y=f（x）的值域应为[(3√(6))/(2)，3√(6)]．
故选：B．